چگونه می توان به طور شهودی دید که منطقه از پایه های پایه ارتفاع حجم سیلندر را می دهد

من سعی می کنم با فکر کردن به ارتفاع منطقه پایه ، به طور شهودی حجم یک استوانه را درک کنم. ویدیوی زیر نوع شهودی را که به دنبالش هستم نشان می دهد ، اما برای یک منشور مستطیل شکل نشان داده شده است که می توان آن را به راحتی مشاهده کرد. من می خواهم همین شهود عمومی را در حجم یک استوانه اعمال کنم ، اما من از آنجا که پایه دایره ای است گیر کرده ام و در تلاش هستم که چگونه به همان روش به آن مکعب های واحد فکر کنم. بگویید ما یک سیلندر با ارتفاع 50 $ سانتی متر و منطقه دایره پایه 10 $ سانتی متر $^2 $ داریم. برای محاسبه حجم با این منطقه (با جمع کردن این مناطق در بالای یکدیگر تا رسیدن به ارتفاع اصلی) باید یک بعد سوم را به منطقه دایره اضافه کنیم ، یعنی با گسترش آن در ارتفاع 1 $ سانتی متر. این در اصل یک سیلندر کوچک به ما می دهد که حجم آن همان منطقه پایه اصلی خواهد بود. به راحتی می توان فهمید که از این نقطه ما فقط می توانیم آن سیلندرهای کوچک را در قسمت اصلی اصلی قرار دهیم که تعداد بسیاری از این افراد متناسب است و این حجم خواهد بود. من در بخشی که سیلندر کوچک را ایجاد می کنم گیر کرده ام و کل فرآیند احساس بازگشتی می کند (اثبات حجم سیلندر با حجم سیلندرهای کوچکتر). من فکر می کنم من در اینجا دیدم و چیزی ساده را از دست می دهم ، بنابراین در این مرحله به دنبال کسی هستم که به من کمک کند تا این را به روشی غیر محاسبه بصری باور کند. ویرایش: تصاویر برای بحث در مورد نظر

استناد کردن دنبال کردن مایکل مونتا از 2 سپتامبر 2021 در 8:38 پرسید مایکل مونتا مایکل مونتا 105 6 6 نشان نقره 19 19 نشان های برنز $ endgroup $

$ begingroup $ فقط پایه را با چند ضلعی (داشتن تعداد زیادی طرف) و در نتیجه سیلندر با منشور تقریبی کنید.$ endgroup $

2 سپتامبر 2021 در 9:53

4 پاسخ 4

مرتب شده توسط: تنظیم مجدد به طور پیش فرض $ begingroup $

حجم هر شکل منشوری ("پشته ها" از شکل و اندازه یکنواخت) بسیار ساده است که تعداد حجم آن شکل های کوچک است. این برای هر بعد (عدد صحیح ، اقلیدسی) نیز کار می کند. همه ما منطقه مستطیل را می شناسیم: اما چرا درست است؟خوب ، اگر طرف های مستطیل را به واحدها تقسیم کنید (مثلاً سانتی متر) ، خیلی راحت می توانید ببینید که مستطیل از تعداد مشخصی از مربع سانتیمتر واحد تشکیل شده است ، و همه آنها متناسب است ، و می توانید تعداد چنین مربعی را حساب کنیدبا ضرب طول جانبی. سپس مربع سانتی متر x $ $ دارید. شما واقعاً نمی توانید اثبات بیشتری نسبت به این انجام دهید. این تعریفی از منطقه است - چند منطقه واحد (در این حالت ، مربع های سانتی متر واحد) شکل را پوشش می دهند؟

اکنون به سیلندر برگردید. این واقعاً دقیقاً همان اصل است. تعریف اساسی از حجم (در این فضای عادی ، اقلیدسی) فقط خواهد بود: چند حجم واحد شکل من را پر می کند؟و یک حجم واحد را می توان از منطقه واحد بوت کرد: اگر مربع دارید و ارتفاع عمود بر یک طول خاص اضافه کنید ، می توانید زیرمجموعه را دوباره انجام دهید و به وضوح ببینید که ما یک دلار بار b times c $ داریممکعب ها ، جایی که $ a ، b ، c $ طول جانبی است- و سپس ما فقط حجم را از این طریق تعریف می کنیم. سیلندر از یک پشته بزرگ دیسک تشکیل شده است. این دیسک ها چقدر نازک هستند و چه تعداد دیسک وجود دارد به تفسیر شما بستگی دارد ، اما برای تقسیم سیلندر به پشته های ارتفاع واحد ، از نظر شهودی خوب است. سپس ارتفاع کل سیلندر چند دیسک وجود دارد و می توانید بگویید که حجم سیلندر دیسک های واحد ارتفاع است. اما "دیسک واحد" یک اندازه گیری دست و پا چلفتی از حجم است - بنابراین حجم دیسک واحد چقدر است؟با توجه به تعریف "واحد" ، این فقط منطقه پایه 1 $ 1 $ واحدهای مکعب است ، و باز هم نمی توانید واقعاً مسئله را بیش از این فشار دهید: این یک تعریف بسیار طبیعی از حجم است.

در مجموع ، ما حجم آن برابر با دیسک های واحد $ $ هستیم و یک دیسک واحد دارای حجم B $ ، $ B برای منطقه پایه ، $ H $ برای ارتفاع است ، بنابراین.$ v = b times h $. تنها چیزی که باید از آن احتیاط کنید این است که اطمینان حاصل کنید که تمام واحدهای شما در همان سیستم اندازه گیری موافق هستند!

در مورد مسئله شما در مورد پایه دایره ای: این در واقع یک مشکل نیست ، تا زمانی که منطقه یک دایره را بپذیرید. یک دیسک از ارتفاع واحد فقط در حال کشیدن دایره پایه به سمت بالا ، فاصله واحد است و دارای حجم 1 برابر B $ است. اگر می خواهید یک شهود یا اثبات این موضوع که چرا منطقه یک دایره چیست ، و چرا حتی قابل اندازه گیری است ، می ترسم شما احتمالاً مجبور شوید برخی از ایده های محاسبات یا از نوع حساب را انجام دهید - من معتقدم که یونانیان اینگونه استاین کار را کرد!