محاسبه ابعاد چند فرکانس در زنجیره های چرخش

در ATAS & BOGOMOLNY (فیزیک 2012 Rev. E 86 ، 021104) نشان داده شد که موج حالت زمین برای تنوع زیادی از مدلهای اسپین یک بعدی چند قلو در پایه چرخش طبیعی است. ما در اینجا جزئیات مشتقات تحلیلی و تأیید عددی این بیانیه را ارائه می دهیم.

1. معرفی

سیستم های کوانتومی بسیار بدن یک موضوع مکرر از فیزیک نظری است. افزایش قدرت رایانه امروز امکان درمان مشکلات با چند ده ذرات را به صورت عددی فراهم می کند که این امر امکانات جدیدی را برای تحقیقات آنها باز می کند.

در اینجا ، ما یکی از قدیمی ترین مدل های تعامل با بدن ، یعنی زنجیره های چرخش یک بعدی را در نظر می گیریم. مثال archetypical مدل XYZ Heisenberg [1] برای چرخش N در زمینه های خارجی است ،

و مشخصات مختلف آن برای مقادیر مختلف پارامترها. در اینجا ماتریس های معمول پائولی در سایت n وجود دارد.

روشهای مختلفی برای یافتن طیف چنین همیلتونیان ساخته شده است [2-5]. محاسبه توابع موج حتی برای مدلهای یکپارچه دشوارتر است. در مبنای طبیعی z-component هر چرخش ، با σ_j= 1 ± 1 ، هر عملکرد موج چرخش را می توان به عنوان یک مبلغ رسمی نشان داد

در چنین مبنایی ، همیلتونیان مانند (1. 1) توسط یک ماتریس M × M نشان داده می شوند. به طور کلی ، ضرایب با مورب شدن ماتریس بدست می آیند. از آنجا که اندازه فضای هیلبرت به صورت نمایی با تعداد چرخش ها رشد می کند ، مورب شدن دقیق به سرعت قابل تحمل می شود و در نهایت یک روش تکراری از مورب شدن ضروری است. حتی در موارد یکپارچه ، عملکردهای موج زنجیره های چرخش هنوز هم نیاز به دانش تعداد زیادی از ضرایب دارند ، که کاملاً نامنظم به نظر می رسند (به نمودارهای بعدی مراجعه کنید) و ساختار آنها به خوبی درک نشده است.

در Atas & Bogomolny [6] نشان داده شد که توابع موج حالت زمین (GS) برای زنجیره های چرخش چند قلوه ای بر اساس چرخش است. چند فقر به طور معمول (به عنوان مثال [7،8]) به این معنی است که لحظات توابع موج به طور غیر مهم با ابعاد فضای هیلبرت m ، مقیاس می کنند.

دقیق تر ، اجازه دهید s_R(q ، m) آنتروپی Rényi [9] برای عملکرد ویژه (1. 2) از ماتریس m × m ،

ابعاد فراکتال ، D_سعدی، از رفتار آنتروپی Rényi (1. 4) در حد تعیین می شود [10]:

اگر این حد صفر باشد ، D_سعدی= 0 ، فقط تعداد کمی از ضرایب سهم زیادی را ارائه می دهند و یکی به توابع مانند توابع بومی شده اشاره دارد. در شرایط مخالف ، هنگامی که تقریباً تمام ضرایب از یک نظم برخوردار هستند ، ساده است که D_سعدی= 1. چنین توابعی عملکردهای دلپذیر نامیده می شود.(برای سیستم های D- بعدی توابع کاملاً جدا شده دارای D هستند_سعدی= د.) در مورد کلی ، د_سعدیوابستگی غیرخطی به q دارد و توابع مربوطه به عنوان چند فرکانس برچسب خورده است.

چند فرتا یک مفهوم کلی است که برای توصیف نوسانات کمی قوی و نامنظم مقادیر مختلف معرفی شده است [7 11]. در زمینه های فیزیکی بسیار متفاوت ، از تلاطم [12،13] گرفته تا دینامیک ضربان قلب انسان ظاهر می شود [14]. عملکرد موج چند قالیچه هنگامی که تشخیص داده شد در برخی از مشکلات ماده چگالش در نقاط ویژه ظاهر می شود (به عنوان مثال در نقطه انتقال فلز-انسداد در مدل اندرسون سه بعدی [15] و در سالن کوانتومی دو بعدی ، توجه گسترده ای را به خود جلب کرد. اثر [10]). مدل های ماتریس تصادفی بحرانی ساده تر که عملکردهای ویژه دارای خاصیت چند قالیچه ای از ماتریس هایی هستند که عناصر خارج از مورب به عنوان اولین قدرت فاصله از مورب کاهش می یابد [16،17]: M_IJ∼ |من - j |−1 هنگامی که |I - J | ≫1.

در تمام این مدل های مهم ، چند قریب به اتفاق یک نتیجه غیر واقعی از همزمانی بین دلخوری به دلیل گسترش و بومی سازی به دلیل تصادفی است. در مدل های چرخش (1. 1) ، هیچ پارامتر تصادفی وجود ندارد و این واقعیت که توابع موج GS چند قالی است ممکن است عجیب به نظر برسد. با این وجود ، با ترکیب محاسبات عددی و تحلیلی ، در [6] اثبات شده است.

مفهوم چند قریب بهی ، مشابه محلی سازی ، به مبنای بستگی دارد. یک تابع ممکن است به یک پایه بومی سازی شود و بر روی دیگری جابجا شود. زنجیره های چرخش به صورت چرخش تعریف می شوند (ر. ک. (1. 1)) و ما خصوصیات چند فرکانس را فقط بر این اساس بررسی می کنیم ، اگرچه برای برخی از مشکلات استفاده از مبنای دیگری ، به عنوان مثال Fermion One [4] ، ممکن است مفید باشد.

هدف از این مقاله دو قسم است. اول ، ما جزئیات خاصی از محاسبات تحلیلی را در [6] ارائه می دهیم. دوم ، با تعریف صرف (1. 5) ، ابعاد فراکتال با روش محدود کننده تعریف می شود. همانطور که عملاً موردی وجود ندارد که D_سعدیاز نظر تحلیلی شناخته شده اند، تعیین دقیق آنها به روش درونیابی که برای محاسبه حد از داده ها با N نسبتاً کوچک استفاده می شود حساس است. این سوال در برنامه های کاربردی مهم است اما به ندرت در ادبیات بحث شده است. ما داده های به دست آمده از قطری سازی مستقیم ماتریس های همیلتونی را برای مدل هایی با حداکثر 13 اسپین و مدل هایی از الگوریتم تکراری Lanczos [18] تا 19 اسپین جمع آوری می کنیم و روش های مختلف درونیابی را با هم مقایسه می کنیم.

طرح این مقاله به شرح زیر است. ما §2 را با یک مقدمه غیررسمی برای فرمالیسم چند فرکتالی بر اساس مثالی از اندازه دو جمله ای شروع می کنیم. اگرچه این ساده ترین مثال ریاضی چندفرکتالیته است، به نظر می رسد که موارد خاصی از زنجیره های چرخشی (1. 1) وجود دارد که در آن GS دقیقاً همان ساختار اندازه گیری دوجمله ای را دارد. در §3، دو روش عددی استاندارد برای یافتن توابع GS، قطر مستقیم و روش Lanczos، به طور خلاصه مورد بحث قرار می گیرند. بخش 4 به بررسی مدل کوانتومی آیزینگ (QIM) در یک میدان عرضی، که یکی از مدل های زنجیره اسپینی است که بیشتر مورد مطالعه قرار گرفته است، اختصاص دارد. با ترکیب محاسبات تحلیلی و عددی، ثابت می کنیم که تابع موج GS آن چند فراکتالی است. تعمیم مدل Ising، یعنی مدل XY، در §5 مورد بحث قرار گرفته است. مشابه مدل Ising، این مدل نیز قابل ادغام است، که امکان می دهد برخی از ابعاد فراکتال به صورت تحلیلی پیدا شوند. توجه ویژه ای به میدان فاکتورسازی نامیده می شود که در آن مدل XY دارای تابع موج GS فاکتورسازی دقیق و ساده است. در این مورد است که تابع موج GS را می توان با آبشار دو جمله ای توصیف کرد، بنابراین به طور دقیق چندفرکتالی بودن این تابع موج را اثبات می کند. در §6، ویژگی های توابع موج GS برای مدل های XXZ و XYZ به طور خلاصه مورد بحث قرار می گیرند. بخش 7 مقاله را به پایان می رساند. برای وضوح، پارامترها را طوری انتخاب می کنیم که همه عبارت های همیلتونی غیرمثبت باشند. با توجه به قضیه پرون-فروبنیوس، این نشان می دهد که ضرایب بسط تابع موج GS می تواند غیر منفی انتخاب شود. برای مدل های QIM و XY، ما فرض می کنیم که GS های آنها فرومغناطیسی هستند، اما برای مدل های XXZ و XYZ آنها را ضد فرومغناطیسی انتخاب می کنیم.

2. اندازه گیری دو جمله ای

برای به دست آوردن بینشی در مورد چند فرکتالی، ابتدا ساده ترین مثال از معیارهای چند فرکتالی را در نظر می گیریم که با تکرار رویه ای به نام آبشار ضربی (دودویی) ساخته شده اند [7].

در مرحله اول آبشار ، فاصله واحد به دو زیرنویس مساوی تقسیم می شود و یکی از آنها یک توده m₀(اندازه گیری) به زیر زیرزمین سمت چپ [0،1/2] و جرم m₁به زیر فرعی سمت راست [1/2،1]. دو عدد مثبت m_0,1به گونه ای هستند که م₀+ م₁= 1 (پارامتر سازی مناسب و). در مرحله 2 تکرار ، ما همان رویه را در دو زیرنویس قبلی اعمال می کنیم و اقدامات مرتبط با چهار زیرمجاز است

این فرایند را می توان به صورت گرافیکی در یک درخت باینری مشاهده کرد (شکل 1).

شکل 1. بازنمایی درخت آبشار دوتایی. مجموع عناصر بیش از یک خط برابر با یک است.

بعد از تکرارهای n ، یکی از زیرنویس های m = 2 n از فرم دریافت می کند

بگذارید متغیر σ را مرتبط کنیم_j= −1 برای شاخه j روی درخت باینری وقتی به سمت چپ و σ می چرخد_j= 1 اگر به سمت راست برگردد. اکنون هر بازه (2. 2) با σ منحصر به فرد مطابقت دارد_j= 1 ± و اندازه گیری چنین بازه ای است

تکرار این روش یک توالی نامتناهی از اندازه گیری ایجاد می کند ، که به اندازه گیری دوتایی همگرا می شود

شکل 2 A عملکرد به دست آمده پس از 12 تکرار را نشان می دهد. Abscissa (با) مربوط به کد باینری آبشار دوتایی به شرح زیر است:

شکل 2. (الف) اندازه گیری دوتایی برای 12 مرحله از آبشار دوتایی برای و.(ب) ابعاد فراکتال برای همین اندازه. خطوط متراکم افقی مقادیر محدود کننده را نشان می دهد (2. 10).(ج) طیف تکینگی برای همین اندازه.

از آنجا که جرم در طول آبشار حفظ می شود ، یعنی مجموع عناصر در امتداد یک خط افقی از درخت برابر است با 1 (به دلیل قضیه دوتایی ، از این رو نام) ، اندازه گیری (2. 3) یک اندازه گیری احتمال است.

(الف) ابعاد فراکتال

اجازه دهید s_R(q ، m) آنتروپی Rényi (1. 4) برای توزیع احتمال عادی گسسته بعد از N مرحله (M = 2 N) ،

جایی که n تعداد حرکات چپ در امتداد درخت باینری (یا تعداد وقایع 1 −1 به ترتیب) است. از این رو،

ابعاد فراکتال ، D_سعدی، از رفتار محدود کننده آنتروپی Rényi در حد (1. 5) تعریف شده است. برای اندازه گیری دوتایی

شکل این عملکرد در شکل 2 b نشان داده شده است. به طور خاص ، برای Q بزرگ ، ابعاد فراکتال به محدودیت ها تمایل دارد

همانطور که در زیر خواهیم دید ، منحنی های D_سعدیبه عنوان تابعی از Q برای تمام مدلهای زنجیره ای چرخش که در این مقاله در نظر گرفته شده است ، شکل مشخصه ای دارند.

(ب) طیف تکینگی

نمونه از اندازه گیری دوتایی نیز برای بحث غیررسمی در مورد سایر مقادیر مورد علاقه به فرمالیسم چند فرایند مناسب است [7،8،10]. مهمترین آنها طیف تکینگی است که معمولاً توسط F (α) مشخص می شود. برای روشن شدن تفسیر فیزیکی فرمول های زیر ، تعریف "سطح انرژی" ساختگی به شرح زیر است (اما البته لازم نیست)

این مبلغ از نظر جسمی می تواند به عنوان عملکرد پارتیشن متعارف برای یک سیستم با انرژی کل و دمای 1/ q تفسیر شود. طبق معمول در ترمودینامیک ، ممکن است چگالی سطح انرژی را به عنوان معرفی کند

با قیاس با ترمودینامیک ، طبیعی است که فرض کنیم آنتروپی S (E) و همچنین کل انرژی E عملکردهای گسترده ای از تعداد ذرات n است. این منجر به بیان زیر برای آنتروپی می شود ،

با یک عملکرد خاص F (α).(در استفاده از ابعاد فراکتال ، باید اصرار داشت که ، جایی که M ابعاد فضای هیلبرت است. این یک عامل ثابت بین N و تعداد چرخش ها را معرفی می کند و منجر به تعریف مجدد F (α) می شود. این واقعیت را در نظر بگیرید.)

با استفاده از (2. 15) ، انتگرال در (2. 14) در بزرگ n می تواند با روش نقطه زین محاسبه شود ، و مشخص است که

برای آبشار دوتایی τ (q) شناخته شده است (ر. ک. (2. 9)) ، و F (α) می تواند به طور ضمنی توسط تبدیل افسانه محاسبه شود

در شکل 2 C ، طیف تکینگی F (α) برای آبشار دوتایی با آن ارائه شده است. برای مدل های دیگر ، F (α) فرم مشابهی دارد [10].

در زبان ترمودینامیکی فوق τ (q) و f (α) به ترتیب نقش انرژی آزاد و آنتروپی در هر ذره را ایفا می کند. البته ، خود فرمالیسم چند قاتل [7،8] نیازی به مراجعه به ترمودینامیک ندارد. اما ما فکر می کنیم که دومی ، که به خوبی شناخته شده است ، نور خاصی را بر مفهوم چند قریب به اتفاق می گذارد و استفاده و معنی مقادیر مختلف را روشن می کند.

در اصل ، د_سعدیو F (α) حاوی همان اطلاعات است ، اما در این مقاله ما فقط به محاسبه ابعاد فراکتال متمرکز خواهیم شد.

3. رویکردهای عددی

برای کامل بودن ، ما به طور خلاصه در مورد روشهای اصلی عددی محاسبه عملکرد موج GS برای مدلهای چرخش مانند (1. 1) بحث می کنیم. حالت پایه ای از زنجیره با آن مشخص خواهد شد

(الف) مورب شدن دقیق

برای دستیابی به مورب شدن دقیق ، فرد باید ماتریس همیلتون را بر اساس (3. 1) بنویسد و از این رو این بردارها را مرتب کند. راهی برای انجام این کار استفاده از کد باینری یک پیکربندی است: وقتی چرخش بالا می رود (به ترتیب پایین) ، ما آن را با 1 جایگزین می کنیم (به ترتیب 1). برای n = 2 ، به عنوان مثال ، یکی دارد

در نتیجه ، بین تمام اعداد عدد صحیح بین 0 تا 2 n-1 و تنظیمات زنجیره های چرخش وجود دارد. سپس عنصر همیلتون را می توان به عنوان نوشت

اصطلاحات موجود در (1. 1) که حاوی دو چرخش مجاور در سایت های N و N +1 است. اصطلاح چرخش فقط در سایت N می چرخد. این اصطلاحات عناصر خارج از موریل ماتریس همیلتون را ایجاد می کند. شرایط و کمک به بخش مورب آن.

پس از تعریف ماتریس همیلتون ، می توان از یک کتابخانه مورب استاندارد استفاده کرد و مقادیر ویژه و ویژه ای را محاسبه کرد. به طور معمول ، این الگوریتم ها متناسب با M 3 می گیرند ، به طوری که فقط می توان به راحتی زنجیرهای چرخشی را تا 13 چرخش بدست آورد. بعداً خواهیم دید که این برای محاسبه ابعاد فراکتال با دقت نسبتاً خوب کافی است. با این حال ، لازم است یک روش تکراری (و به همین ترتیب تقریبی) از مورب شدن اتخاذ شود تا بتواند با تعداد زیادی چرخش به زنجیره های چرخش برسد.

(ب) تکنیک لانچوس

ماتریس همیلتون یک ماتریس بسیار پراکنده است: در هر سطر و هر ستون k ∼ n ≪ m = 2 n عناصر ماتریس غیر صفر. الگوریتم Lanczos یک الگوریتم تکراری مبتنی بر روش های قدرت است [18]. این اجازه می دهد تا کمترین (یا بزرگترین) مقادیر ویژه و ویژه ویژه یک ماتریس مربع را پیدا کند و به ویژه برای یافتن تجزیه ماتریس های پراکنده بسیار مفید است.

اساساً ، الگوریتم Lanczos مبنای ویژه ای ، به اصطلاح فضای کریلوف ، که در آن همیلتونیان دارای نمایشی tridiagonal است ، می سازد. این الگوریتم به شرح زیر است (به عنوان مثال [19]). یک بردار دلخواه را انتخاب کنید |ϕ₀〉 در فضای هیلبرت مدل مورد مطالعه. به طور کلی ، این بردار به طور تصادفی انتخاب می شود تا اطمینان حاصل شود که همپوشانی با GS واقعی غیر صفر است. اگر برخی از تقارن GS شناخته شده باشد ، پس راحت است که تکرارها را با یک وضعیتی که قبلاً متعلق به فضای زیر است و دارای آن تعداد کوانتومی است ، شروع کنید. سپس با استفاده از |ϕ₀〉 و تفریق پیش بینی آن از |ϕ₀〉,

که برآورده می کند₀|ϕ₁〉 = 0. انجام همان کار با |ϕ₁〉 ، ما حالت جدیدی را می سازیم که به دو کشور قبلی متعامد است:

تعمیم به سفارش n ، ما داریم

با شرط ب₀= 0. به راحتی می توان بررسی کرد که بردار ایجاد شده در مرحله N به موارد قبلی N-1 متعامد است. بعد از تکرارهای N ، ماتریس همیلتون شکل زیر را بر اساس دارد<| ϕ _k〉>_{0≤ k ≤ n}:

پس از این شکل ، ماتریس را می توان به راحتی با استفاده از زیرمجموعه های استاندارد کتابخانه به راحتی مورب کرد. تعدادی از تکرارها برابر با اندازه فضای هیلبرت برای مورب شدن دقیقاً به عنوان مدل مورد مطالعه لازم است. با این حال ، تعداد تکرار تعداد N ∼100 ∼ در عمل کافی است که دقت کافی برای کشورهای کمترین انرژی داشته باشد. عملکرد موج GS در (1. 2) در<| ϕ _k〉>_{0≤ k ≤ n}مبنای AS و ضریب C_مگسدر طول مورب T به دست می آید_حرفبشربا این روش ، با رایانه های رومیزی می توان به راحتی کمترین حالت را برای زنجیرهای چرخش تا 20 چرخش پیدا کرد.

4- مدل ISING کوانتومی

QIM در یک میدان عرضی [20] یک مدل به خوبی مطالعه شده از انتقال فاز کوانتومی است [21]. این توسط همیلتون (1. 1) با δ = α = 0 و γ = 1 تعریف شده است.

(الف) نتایج تحلیلی

طیف این مدل را می توان به صورت تحلیلی با تحول ارد ن-وینر [4] یافت ، که مشکل چرخش را به یک مشکل آزاد Fermions می رساند (شکل 3).

شکل 3. ایده اصلی تحول jorda n-wigner: چرخش بالا |_ج= 0 (به ترتیب حضور n_ج= 1) یک فرمیون.(نسخه آنلاین به رنگ.)

eigenenergies qim با پر کردن فرمیونی سطح یک ذره ،

محاسبه عملکرد خاص GS به دلیل ضرورت انجام تحول بوگولیوبوف بیشتر درگیر است [4،22-24]. برای هر دنباله ضرایب σ ψ_σدر (1. 2) برای GS آنها توسط تعیین کننده یک ماتریس N × N داده می شوند ،

این عبارات برای محاسبات عددی خصوصیات GS و همچنین بدون علامت ابعاد فراکتال هنگام [22-24] مفید است. برای تصویر ، در شکل 4 A ، ضرایب عملکرد GS برای QIM بحرانی با λ = 1 ارائه شده است.

شکل 4. (الف) ضرایب عملکرد موج GS برای QIM با λ = 1 و n = 11 در مقابل کد باینری (2. 5).(ب) همان اما برای مدل XY با λ = 0. 4 ، γ = 1. 4 و n = 12.

برای یافتن ، لازم است بزرگترین ضریب در گسترش (1. 2) را بدانید. از ملاحظات فیزیکی ، مشخص است که مطابق با پیکربندی فرومغناطیسی خالص است که تمام چرخش ها در آن قرار دارند. معادله (4. 6) وقتی همه σ = 1 می دهد

با استفاده از آرگومان های مشابه ، نتیجه گیری می شود که با حداقل ضریب در (1. 2) مرتبط است. همانطور که مدل ISING فرومغناطیسی را در نظر می گیریم ، واضح است که حداقل برای پیکربندی با حداکثر تعداد چرخش به دست می آید. اگر n یکنواخت باشد ، پیکربندی (4. 6) وقتی همه σ = −1 مجاز است. برای عجیب و غریب n تنظیمات n وجود دارد که n-1 می چرخد و یک چرخش به بالا می رود. در همه موارد ، یکی نتیجه می گیرد [23،24]

با استفاده از دوگانگی Kramer s-Waier در [23،24] ، نشان داده شد که برای QIM امکان محاسبه D نیز وجود دارد_1/2بشربا تعمیم کمی استدلال های این کار ، ما می گیریم

فرمول های فوق از نظر کیفی برای غیر بحرانی و بحرانی (یعنی λ = 1) QIM یکسان هستند اما مبلغ آنها

یک تکینگی در λ = 1 دارد ، به این معنی که ابعاد فراکتال نیز به بحران کوانتومی حساس است.

(ب) شمار

همانطور که در بالا ذکر شد ، ساده ترین روش برای یافتن ابعاد فراکتال ، محاسبه عددی مستقیم عملکرد موج GS برای تعداد مختلف چرخش و برون یابی متعاقب آنتروپی Rényi برای M بزرگ است. در تعریف (1. 5) ، به طور ضمنی فرض می شود که Q مثبت است. برای بسیاری از مشکلات (اما نه برای همه) ، ابعاد فراکتال نیز می تواند برای q منفی محاسبه شود [25،26]. هنگامی که ضرایب خاص در (1. 2) به دلیل تقارن دقیق (مانند QIM) صفر هستند ، آنها در محاسبه آنتروپی Rényi (1. 4) برای Q ≤0 گنجانده نشده اند. منحنی ها_R(س ، م) به عنوان تابعی از ساده ترین شکل کاربردی متناسب بود

ضرایب a_منالبته توابع Q است. در تمام مدلها ، این منحنی ها (به عنوان مثال (1. 3)) به عنوان تابعی از n تقریباً خطوط مستقیم و شیب a هستند₁ابعاد فراکتال را با دقت معقول می دهد. برای برآورد دقت تناسب ، مبلغ را محاسبه می کنیم

جایی که جمع بندی بیش از تمام مقادیر موجود در ابعاد ماتریس m و p انجام می شود_سعدی(م) در (1. 3) تعریف شده است.

برای مدل ISING و تمام مدل های دیگر ، ما الگوریتم Lanczos را با تکرار N = 150 انجام می دهیم. همانطور که در برابری QIM حفظ می شود ، تکرار روش Lanczos با پیکربندی فرومغناطیسی با تمام چرخش ها شروع می شود. کیفیت تناسب در شکل 5 a نشان داده شده است. در شکل 5 b ، مقایسه بین مورب مستقیم و روش Lanczos ارائه شده است. اگرچه مورب شدن دقیق برای تعداد نسبتاً کمی از چرخش انجام شد ، اما نتایج با نتایج Lanczos به خوبی موافق هستند.

شکل 5. (الف) رسم لگاریتم χ2 (4. 15) به عنوان تابعی از q برای تناسب (4. 14) برای مدل Ising در میدان بحرانی λ = 1 و میدان غیر بحرانی λ = 1. 6. Inset: به عنوان تابعی از λ = 0. 4،1،1. 6 (به ترتیب از بالا به پایین).(ب) مقایسه عددی ابعاد فراکتال برای QIM بحرانی به دست آمده با تکنیک Lanczos با N = 3 تا 18 (خطوط قرمز) و مورب سازی دقیق با N = 3 تا 11 (مربع های آبی).(نسخه آنلاین رنگی.)

به عنوان مثالی از دقت محاسبات عددی، مقادیر دقیق D را با هم مقایسه می کنیم_1/2با اعداد مایکی از (4. 12) دارد

تناسب عددی می دهد

می بینیم که دقت محاسبات در این نقطه خاص در حد 10-3-10-4 است که برای تمام اهداف عملی کافی است. نتایج عددی بیشتری در [6] ارائه شده است.

5. مدل XY

همیلتونی این مدل با ناهمسانگردی γ با QIM متفاوت است.

مشابه QIM، این مدل نیز با تبدیل جردن-ویگنر [4،23،24] قابل ادغام است، اما ساختار GS آن پیچیده تر است (به زیر مراجعه کنید). انرژی های ویژه با همان عبارت (4. 2) اما با

در مورد مدل Ising، ضرایب تابع موج GS از (4. 6) و (4. 7) اما با θ محاسبه می شوند._kتوسط بیان تعیین می شود

مدل XY به مدل Ising برای γ =1 کاهش می یابد. در شکل 4 ب، نمونه ای از تابع موج GS برای مدل XY ارائه شده است.

(الف) انحطاط انرژی در حالت زمین

به دلیل ناهمسانگردی γ , برابری GS پیشینی ثابت نیست . بسته به پارامترهای λ و γ، کمترین حالت انرژی ممکن است دارای برابری فرد یا زوج باشد. به همین ترتیب، انرژی GS با همان فرمول (4. 2) (با n) داده می شود_k=0)

تفاوت انرژی بین این دو حالت است

اگر این تفاوت مثبت باشد، E_GS= E_فرد; اگر منفی باشد، E_GS= E_زوج. برای محاسبه مجموع در (5. 5) زمانی که می توان به صورت زیر عمل کرد.

z =e i k را نشان دهید. برای حالت های زوج z_لریشه های z N-1=0 هستند. برای حالت های فرد z_لریشه های z N +1=0 هستند. بررسی آن آسان است

با P (z)=(z 2 −2 λz +1) 2 − γ 2 ( z 2 −1) 2 و کانتور C تمام قطب های دایره واحد را مانند شکل 6 احاطه می کند.

شکل 6. کانتور ادغام در محاسبه GS برای مدل XY. دایره های پر شده سیاه قطب ها را روی دایره واحد نشان می دهد. دایره های باز قرمز تکینگی های ریشه مربع تابع f (z) در حالت λ 2 + γ 2 هستند.

تابع f (z) دارای چهار تکینگی جذر است که P (z)=0:

اگر λ 2 + γ 2 λ 2 + γ 2 ≥1 واقعی باشند (شکل 6). کانتور C را می توان تغییر شکل داد تا برش های F (Z) را محاصره کند.

چه موقع ، می توان از z = z استفاده کرد و p (z)₁می توان به عنوان p (z) = p ′ (z) تقریب داد₁) (z - z₁)، جایی که

انجام محاسبات ساده ، یکی می شود

برای جلوگیری از دشواری در یافتن صحیح GS ، پارامترهای λ و γ را در خارج یا داخل دایره واحد انتخاب می کنیم

(ب) میدان فاکتوریزه

وقتی λ 2 + γ 2 = 1 یا λ = λ_ج، جایی که

مشخص است [27،28] که در آن زمینه مدل XY دارای دو عملکرد موج GS دقیق است

برای کامل بودن ، ما در اینجا اثبات این نتیجه را ترسیم می کنیم. برای یافتن زمینه فاکتورسازی در مدل XY ، کافی است که یک اصطلاح را در همیلتون (5. 1) (به طوری) در نظر بگیرید.

محاسبات مستقیم می دهد که معادله (5. 17) اگر پارامترها از معادلات پیروی کنند ، راضی خواهد شد

به عنوان E = −1 ، انرژی کامل GS برای چنین حالت فاکتور شده است

جایی که n تعداد چرخش در ایالت است. با مقایسه آن با (2. 7) ، نتیجه می گیرد که دقیقاً با اندازه گیری دوتایی مورد بحث در §2 مطابقت دارد. بنابراین ، ابعاد فراکتال در این مورد عبارتند از (ر. ک. (2. 9))

برای از بین بردن انحطاط مضاعف GS در میدان فاکتورسازی ، تشکیل دو حالت با برابری مختلف (4. 4) راحت است.

برای نشان دادن این مورد ، ما به صورت عددی با لحظات روش Lanczos از عملکرد موج GS (1. 3) برای مدل XY در میدان فاکتور γ = 0. 6 و λ = 0. 8 (λ 2 + γ 2 = 1) محاسبه کردیم و آنها را با بیان دقیق مقایسه کردیم(5. 26). در زیر شکل 7 A ، خطاهای نسبی

برای q = 2،2. 5،3. 5 ارائه شده است. اینجا ، (ص_سعدی)_حدودلحظات محاسبه شده عددی و (ص_سعدی)_دقیقلحظات دقیقی است که توسط (5. 26) داده شده است.

شکل 7. (الف) ابعاد فراکتال GS برای مدل XY در میدان فاکتور λ = 0. 8 و γ = 0. 6 به دست آمده توسط روش Lanczos برای n = 5 تا 18 توسط محافل سیاه نشان داده شده است. خط جامد قرمز با معادله دقیق (5. 23) با θ = π /6 مطابقت دارد. inset: خطاهای نسبی لحظه های عملکرد موج GS (5. 27) برای این پارامترها: مربع های سیاه (خطوط کامل) مطابق با Q = 2 ، دایره های قرمز (خطوط شکسته) به q = 2. 5 و Rhombuses آبی (خطوط نقطه ای) تا Q = 3. 5بشر(ب) طرح لگاریتم χ 2 (4. 15) به عنوان تابعی از Q برای مدل XY در فاکتوریزه کردن میدان λ = 0. 8 و γ = 0. 6 ، و میدان عمومی λ = 0. 4 و γ = 1. 4 برای تناسب (4. 14). inset: به عنوان تابعی از این مقادیر پارامترها.(نسخه آنلاین به رنگ.)

توافق خوب مشاهده شده حتی در N بزرگ ، دقت محاسبات عددی را تأیید می کند. ابعاد فراکتال در این مقادیر پارامترها با استفاده از FIT (4. 14) محاسبه می شود. از شکل 7 b ، می توان دقت درون یابی چنین تناسب برای مقادیر خاصی از پارامترها را در مدل های XY تخمین زد. اگرچه تناسب کاملاً مناسب است (یعنی نقاط اتصالی نزدیک به مقادیر عددی است) ، ابعاد فراکتال با مقادیر ترتیب 10 - 2 همانطور که در شکل 7 a نشان داده شده است ، از موارد دقیق (5. 23) منحرف می شوند. دلیل اصلی چنین اختلافات همگرایی غیر یکنواخت فرمول دقیق (5. 23) است که در فواصل مختلف q. از آنجا که شکل اصلاحات برای محدود کردن مقادیر برای ابعاد فراکتال ناشناخته است ، به طور کلی تخمین دقت محاسبه ابعاد فراکتال دشوار است. از تجربه ما ، می فهمیم که معقول است که خطای مطلق ترتیب 10 - 2 - 10 −3 را از داده ها تا 16 چرخش بدست آوریم ، اگرچه ممکن است برای مقادیر خاصی از دقت با دقت بالاتر بدست آید.

(ج) محدود کننده مقادیر ابعاد فراکتال

به نظر می رسد طبیعی است که فکر کنیم مقادیر محدود کننده و مانند QIM باید به ترتیب با تنظیمات با همه چرخش ها و همه چرخش ها مطابقت داشته باشند ، و در نتیجه ، مشابه (4. 10) و (4. 11) بیان شوند

اما به نظر می رسد که در λ کوچک ، توزیع دیگری از چرخش وجود دارد که سهم کوچکتر از آن را با تمام چرخش ها به پایین می بخشد. این مطابق با پیکربندی Néel ضد فرومغناطیسی با چرخش های متناوب ، σ_حرف= ( - 1) N ، که سهم آن را می توان به صورت تحلیلی همانطور که در زیر انجام می شود محاسبه کرد.

برای سادگی ، ما حتی n را در نظر می گیریم. با یک تحول ساده از (4. 6) ، فرد برای پیکربندی Neel لازم است که تعیین کننده تعیین کننده باشد

چه موقع ، می توان جمع بندی را بر روی k به یکپارچه سازی تغییر داد و بدست آورد

ماتریس k_منگنهدر معادله (5. 29) یک ماتریس توپلیتز نیست اما می تواند به عنوان ماتریس بلوک توپلیتز نوشته شود ،

بدون علامت تعیین کننده یک ماتریس بلوک توپلیتز تحت شرایط خاص توسط فرمول [29] داده می شود (همچنین به [30] مراجعه کنید)