روشهای جایگزین در محاسبه نقاط محوری

در پایان این بخش ، شما قادر خواهید بود:

• شرط دوم را که برای دستیابی به تعادل لازم است ، بیان کنید.
• گشتاور و عواملی را که به آن بستگی دارد توضیح دهید.
• نقش گشتاور را در مکانیک های چرخشی شرح دهید.

گشتاور

شرط دوم لازم برای دستیابی به تعادل شامل جلوگیری از چرخش شتاب (حفظ سرعت زاویه ای ثابت است. یک بدن یا سیستم چرخان می تواند در تعادل باشد اگر میزان چرخش آن ثابت باشد و توسط نیروهایی که روی آن عمل می کنند بدون تغییر باقی می ماند. بگذارید در مورد آنچه اتفاق می افتد هنگام باز کردن درب معمولی با چرخاندن آن بر روی لولا های آن فکر کنیم.

چندین عامل آشنا تعیین می کند که شما در باز کردن درب چقدر مؤثر هستید. شکل 1 را ببینید. اول از همه ، هرچه نیرو بزرگتر باشد ، در باز کردن درب مؤثرتر است - هرچه فشار شما سخت تر باشد ، سریعتر درب باز می شود. همچنین ، نکته ای که در آن فشار می آورید بسیار مهم است. اگر نیروی خود را خیلی نزدیک به لولا اعمال کنید ، اگر اصلاً درب به آرامی باز شود. بیشتر مردم از انجام این اشتباه خجالت کشیده اند و وقتی به همان سرعت انتظار می رفت ، در مقابل یک درب دست می زدند. سرانجام ، مسیری که در آن فشار می آورید نیز مهم است. موثرترین جهت عمود بر درب است - ما تقریباً به طور غریزی به این جهت فشار می آوریم.

شکل 1. گشتاور اثربخشی چرخش یا پیچش یک نیرو است که در اینجا برای چرخش درب روی لولا آن نشان داده شده است (همانطور که از سربار مشاهده می شود). گشتاور هم از نظر اندازه و هم جهت دارد.(الف) گشتاور خلاف جهت عقربه های ساعت توسط این نیرو تولید می شود ، به این معنی که درب به دلیل F در خلاف جهت عقربه های ساعت می چرخد. توجه داشته باشید که r_⊥فاصله عمود محوری از خط عمل نیرو است.(ب) یک گشتاور ضد عقربه های ساعت کوچکتر توسط یک نیروی کوچکتر F ′ که در همان فاصله از لولا (نقطه محوری) عمل می کند ، تولید می شود.(ج) همان نیرویی که در (الف) گشتاور ضد عقربه های ساعت کوچکتر را هنگام استفاده در فاصله کمتری از لولا تولید می کند.(د) همان نیرویی که در (الف) انجام می شود ، اما در جهت مخالف عمل می کند ، گشتاور عقربه های ساعت را تولید می کند.(ه) گشتاور ضد عقربه های ساعت کوچکتر توسط همان نیروی بزرگی که در همان نقطه اما در جهت دیگری عمل می کند تولید می شود. در اینجا ، θ کمتر از 90 درجه است.(ج) گشتاور در اینجا صفر است زیرا این نیرو فقط روی لولا می کشد و هیچ چرخش ایجاد نمی کند. در این حالت ، θ = 0º.

بزرگی ، جهت و نقطه کاربرد نیرو در تعریف مقدار فیزیکی به نام گشتاور گنجانیده شده است. گشتاور معادل چرخشی یک نیرو است. این یک اندازه گیری از اثربخشی یک نیرو در تغییر یا تسریع چرخش (تغییر سرعت زاویه ای در طی یک دوره زمانی) است. به شکل معادله ، بزرگی گشتاور تعریف شده است

[لاتکس] tau = rf sin theta \ [/لاتکس]

جایی که τ (حرف یونانی تاو) نمادی برای گشتاور است ، r فاصله از نقطه محوری تا جایی است که نیرو اعمال می شود ، f بزرگی نیرو است ، و θ زاویه بین نیرو و بردار استاز نقطه کاربرد به نقطه محوری هدایت می شود ، همانطور که در شکل 1 و شکل 2 مشاهده می شود. یک عبارت جایگزین برای گشتاور از نظر بازوی اهرم عمود بر_⊥همانطور که در شکل 1 و شکل 2 نشان داده شده است ، که به عنوان تعریف شده است

τ = r_⊥f.

شکل 2. نیرویی که برای یک شی اعمال می شود می تواند گشتاور تولید کند ، که به محل نقطه محوری بستگی دارد.(الف) سه عامل R ، F و θ برای نقطه محوری A روی بدن در اینجا نشان داده شده است - R فاصله از نقطه محوری انتخاب شده تا جایی است که نیروی F اعمال می شود ، و θ زاویه بین f و استوکتور از نقطه کاربرد به نقطه محوری هدایت می شود. اگر جسم بتواند در اطراف نقطه A بچرخد ، خلاف جهت عقربه های ساعت می چرخد. این بدان معنی است که گشتاور نسبت به محور A. (b) خلاف جهت عقربه های ساعت است. در این حالت ، نقطه B نقطه محوری است. گشتاور حاصل از نیروی اعمال شده باعث چرخش عقربه های ساعت در اطراف نقطه B می شود ، بنابراین یک گشتاور عقربه های ساعت نسبت به B است.

بازوی اهرم عمود R_⊥کوتاهترین فاصله از نقطه محوری به خطی است که در آن F انجام می شود. به عنوان یک خط متراکم در شکل 1 و شکل 2 نشان داده شده است. توجه داشته باشید که بخش خطی که فاصله r را مشخص می کند_⊥همانطور که نام آن پیداست ، عمود بر F است. پیدا کردن یا تجسم r گاهی اوقات ساده تر است_⊥از اینکه هر دو R و θ را پیدا کنند. در چنین مواردی ، ممکن است استفاده از τ = r راحت تر باشد_⊥f به جای τ = rf sin θ برای گشتاور ، اما هر دو به همان اندازه معتبر هستند.

واحد گشتاور SI Newtons Time Mits است که معمولاً به صورت N · m نوشته می شود. به عنوان مثال ، اگر با یک نیروی 40 n در فاصله 0. 800 متر از لولا ، عمود بر درب را فشار دهید ، گشتاور 32 نانومتر (0. 800 M × 40 N × SIN 90 درجه) را نسبت به لولا اعمال می کنید. اگر نیرو را به 20 N کاهش دهید ، گشتاور به 16 نانومتر و غیره کاهش می یابد.

گشتاور همیشه با استناد به برخی از نقطه محوری انتخاب شده محاسبه می شود. برای همان نیروی کاربردی ، یک انتخاب متفاوت برای محل محوری مقدار متفاوتی برای گشتاور به شما می دهد ، زیرا هر دو R و θ به محل محوری بستگی دارند. هر نقطه در هر شیء را می توان برای محاسبه گشتاور در مورد آن نقطه انتخاب کرد. ممکن است شیء در واقع در مورد "نقطه محوری" انتخاب نشده باشد.

توجه داشته باشید که برای چرخش در هواپیما ، گشتاور دو جهت ممکن دارد. گشتاور یا در جهت عقربه های ساعت یا خلاف جهت عقربه های ساعت نسبت به نقطه محوری انتخاب شده ، همانطور که برای نقاط B و A به ترتیب نشان داده شده است ، در شکل 2 است. اگر جسم بتواند در مورد نقطه A بچرخد ، خلاف جهت عقربه های ساعت می چرخد ، به این معنی که گشتاور برای نیرو استبه عنوان خلاف جهت عقربه های ساعت نسبت به A. نشان داده شده است ، اما اگر جسم بتواند در حدود نقطه B بچرخد ، در جهت عقربه های ساعت می چرخد ، به این معنی که گشتاور برای نیروی نشان داده شده نسبت به B. در جهت عقربه های ساعت نسبت به B. همچنین ، میزان گشتاور بیشتر است که بازوی اهرم بیشتر باشدطولانی تر

اکنون شرط دوم لازم برای دستیابی به تعادل این است که گشتاور خارجی خالص روی یک سیستم باید صفر باشد. گشتاور خارجی یکی از مواردی است که توسط یک نیروی خارجی ایجاد می شود. می توانید نقطه ای را که گشتاور محاسبه می شود انتخاب کنید. نکته می تواند نقطه محوری فیزیکی یک سیستم یا هر نقطه دیگر در فضا باشد - اما باید برای همه گشتاور ها یکسان باشد. اگر شرط دوم (گشتاور خارجی خالص روی یک سیستم صفر باشد) برای یک انتخاب Pivot Point راضی است ، همچنین برای هر انتخاب دیگری از نقطه محوری در داخل یا خارج از سیستم مورد علاقه صادق است.(این فقط در یک قاب مرجع اینرسی صادق است.) شرط دوم لازم برای دستیابی به تعادل در فرم معادله بیان شده است

جایی که خالص به معنای کل است. گشتاور ، که در جهت های مخالف قرار دارند ، علائم متضاد اختصاص داده می شوند. یک کنوانسیون مشترک این است که گشتاور های خلاف جهت عقربه های ساعت (CCW) را مثبت و در جهت عقربه های ساعت (CW) منفی می نامند. هنگامی که دو کودک همانطور که در شکل 3 نشان داده شده است ، تعادل را تعادل می بخشد ، آنها دو شرط را برای تعادل برآورده می کنند. اکثر مردم در مورد Seesaws شهود کاملی دارند ، می دانند که کودک سبک تر باید دورتر از محوری بنشیند و یک کودک سنگین تر می تواند یک سبک تر را به طور نامحدود از زمین دور نگه دارد.

شکل 3. دو کودک متعادل کننده یک Seesaw هر دو شرط را برای تعادل برآورده می کنند. کودک سبک تر از محوری دورتر می نشیند تا گشتاور برابر با بزرگی کودک سنگین تر ایجاد کند.

مثال 1. او گشت و گذار را در یک قسمت دیدنی دید

دو کودک که در شکل 3 نشان داده شده است ، در یک توده از توده ناچیز متعادل می شوند.(این فرض برای ساده نگه داشتن مثال ساخته شده است - نمونه های درگیر بیشتر به دنبال خواهد بود.) کودک اول دارای جرم 26. 0 کیلوگرم است و 1. 60 متر از محوری قرار دارد. (الف) اگر فرزند دوم دارای جرم 32. 0 کیلوگرم باشد ، چگونهدور او از محوری است؟(ب) F چیست_p، نیروی حامی اعمال شده توسط محوری؟

استراتژی

هر دو شرط تعادل باید برآورده شوند. در بخشی (الف) ، از ما خواسته می شود. بنابراین ، از شرط دوم (در مورد گشتاور) باید استفاده شود ، زیرا اول (با توجه به تنها نیروها) مسافتی در آن ندارد. برای اعمال شرط دوم برای تعادل ، ابتدا سیستم مورد علاقه را به عنوان Seesaw به علاوه دو کودک مشخص می کنیم. ما محوری پشتیبان را به این نکته در نظر می گیریم که گشتاور ها محاسبه می شوند. سپس همه نیروهای خارجی را که روی سیستم عمل می کنند شناسایی می کنیم.

راه حل (الف)

سه نیروی خارجی که بر روی سیستم عمل می کنند ، وزن این دو کودک و نیروی حامی محوری است. بگذارید گشتاور تولید شده توسط هر یک را بررسی کنیم. گشتاور تعریف شده است

در اینجا θ = 90º ، به طوری که گناه θ = 1 برای هر سه نیرو. یعنی R_⊥= R برای هر سه. گشتاور های اعمال شده توسط سه نیرو اول است ،

τ₁= r₁حرف₁ τ₂= - r₂حرف₂

توجه داشته باشید که یک علامت منفی در معادله دوم وارد شده است زیرا این گشتاور در جهت عقربه های ساعت است و بنابراین طبق کنوانسیون منفی است. از F_pمستقیماً در نقطه محوری ، فاصله r عمل می کند_pصفر استنیرویی که روی محوری عمل می کند نمی تواند باعث چرخش شود ، درست همانطور که فشار مستقیم روی لولا درب باعث چرخش آن نمی شود. اکنون شرط دوم تعادل این است که مجموع گشتاور ها در هر دو کودک صفر است. از این رو

τ₂= - τ₁, حرف₂حرف₂= r₁حرف₁.

وزن زمان جرم شتاب به دلیل گرانش است. ورود به میلی گرم برای W ، ما دریافت می کنیم

حرف₂مگس₂G = r₁مگس₁گرم. [لاتکس]_=_frac_>_>\ [/لاتکس]

مقادیر در سمت راست معادله شناخته شده است. بنابراین ، r₂است

همانطور که انتظار می رفت ، کودک سنگین تر باید به محوری (1. 30 متر در مقابل 1. 60 متر) نزدیکتر نشسته باشد تا تعادل آن را تعادل برقرار کند.

راه حل (ب)

این قسمت از نیرویی درخواست می کند_pبشرساده ترین راه برای یافتن آن استفاده از شرط اول برای تعادل است که یعنی

خالص f = 0

نیروها همه عمودی هستند ، به طوری که ما با یک مشکل یک بعدی در امتداد محور عمودی سر و کار داریم. از این رو ، این شرط را می توان به صورت

جایی که ما دوباره محور عمودی را y-axis می نامیم. انتخاب به سمت بالا برای جهت مثبت و استفاده از علائم به علاوه و منهای برای نشان دادن جهت نیروها ، ما آن را می بینیم

ج_p- w₁- w₂= 0.

این معادله آنچه را که ممکن است در ابتدا حدس زده شود ، به دست می آورد:

ج_p= W₁+ w₂.

بنابراین ، محوری یک نیروی حامی برابر با وزن کل سیستم را تأمین می کند:

ج_p= م₁g + m₂گرم.

وارد کردن مقادیر شناخته شده می دهد

بحث

این دو نتیجه حس شهودی را ایجاد می کند. کودک سنگین تر به محوری نزدیکتر است. محوری از وزن این دو کودک پشتیبانی می کند. قسمت (ب) همچنین می تواند با استفاده از شرط دوم تعادل حل شود ، زیرا هر دو مسافت شناخته شده است ، اما تنها در صورت انتخاب نقطه محوری در جایی غیر از محل محوری واقعی Seesaw انتخاب می شود!

چندین جنبه از مثال قبلی پیامدهای گسترده ای دارد. اول ، انتخاب محوری به عنوان نقطه ای که در اطراف گشتاور محاسبه می شود مشکل را ساده می کند. از F_pدر نقطه محوری اعمال می شود ، بازوی اهرم آن صفر است. از این رو ، گشتاور اعمال شده توسط نیروی حامی f_pنسبت به آن نقطه محوری صفر است. شرط دوم تعادل برای هر انتخاب نقطه محوری وجود دارد ، بنابراین ما نقطه محوری را برای ساده کردن حل مسئله انتخاب می کنیم.

دوم ، شتاب به دلیل گرانش در این مشکل لغو شده است و ما با نسبت توده ها باقی مانده ایم. این همیشه اینگونه نخواهد بود. همیشه وارد نیروهای صحیح شوید - برای ورود به برخی از نسبت توده ها به جلو بروید.

سوم ، وزن هر کودک در ناحیه ای از Seesaw توزیع می شود ، اما ما وزن ها را درمان کردیم که گویی هر نیرو در یک نقطه واحد اعمال می شود. این یک تقریب نیست - مسافت r₁و r₂مسافت به نقاط مستقیماً زیر مرکز ثقل هر کودک است. همانطور که در بخش بعدی خواهیم دید ، جرم و وزن یک سیستم می تواند طوری عمل کند که گویی در یک نقطه واحد قرار دارند.

سرانجام ، توجه داشته باشید که مفهوم گشتاور از تعادل استاتیک اهمیت دارد. گشتاور همان نقش را در حرکت چرخشی که نیرو در حرکت خطی بازی می کند ، ایفا می کند. ما این را در فصل بعد بررسی خواهیم کرد.

آزمایش خانه

یک تکه از خاک رس را بگیرید و آن را روی یک میز قرار دهید ، سپس یک سیلندر را به داخل آن خرد کنید تا یک خط کش بتواند در قسمت دور سیلندر تعادل برقرار کند در حالی که همه چیز هنوز باقی مانده است. یک پنی 8 سانتی متر از محوری قرار دهید. برای تعادل ، کجا باید دو سکه قرار دهید؟سه سکه؟

خلاصه بخش

• شرط دوم تضمین می کند که گشتاور ها نیز متعادل هستند. گشتاور معادل چرخشی نیرو در تولید چرخش است و تعریف شده است

[لاتکس] tau = rf sin theta \ [/لاتکس]

جایی که τ گشتاور است ، R ، فاصله از نقطه محوری تا جایی است که نیرو اعمال می شود ، f بزرگی نیرو است ، و θ زاویه بین F و بردار است که از نقطه ای که نیرو به آن عمل می کندنقطه محوریبازوی اهرم عمود R_⊥تعریف شده است

[لاتکس]_<perp>= r sin \ [/لاتکس] به طوری که [لاتکس] tau =_<perp>f \ [/لاتکس]. [لاتکس] متن tau = 0 \ [/لاتکس]

سوالات مفهومی

1. چه سه عامل بر گشتاور ایجاد شده توسط یک نیرو نسبت به یک نقطه محوری خاص تأثیر می گذارد؟

2. از یک توپ خراب برای پایین آمدن یک ساختمان استفاده می شود. یک دیوار بتونی پشتیبانی نشده بلند ایستاده است. اگر توپ خراب به دیوار در نزدیکی قسمت بالا برخورد کند ، آیا با چرخاندن در پایه خود یا با پایین آمدن مستقیم به دیوار می افتد؟پاسخ خود را توضیح دهید. اگر با همان نیرو در پایگاه خود برخورد کند ، چگونه به احتمال زیاد سقوط می کند؟توجه داشته باشید که این بستگی به این دارد که دیوار به طور محکم در پایه آن وصل شده است.

3. مکانیک ها گاهی اوقات هنگام تلاش برای جدا کردن یک پیچ بسیار محکم ، طول لوله را روی دسته آچار می گذارند. چگونه این کمک می کند؟(همچنین خطرناک است زیرا می تواند پیچ را بشکند.)

مشکلات و تمرینات

1. (الف) هنگام باز کردن درب ، به طور عمود بر روی آن با نیروی 55. 0 نانومتر در فاصله 0. 850 متر از لولا فشار می دهید. چه گشتاور نسبت به لولا اعمال می کنید؟(ب) آیا اگر به همان ارتفاع لولا فشار بیاورید ، مهم است؟

2. هنگام محکم کردن پیچ ، عمود بر روی آچار با نیروی 165 نانومتر در فاصله 0. 140 متر از مرکز پیچ فشار می دهید.(الف) در نیوتن × متر (نسبت به مرکز پیچ) چقدر گشتاور را انجام می دهید؟(ب) این گشتاور را به پا تبدیل کنید.

3. دو کودک در حین بازی به طرف مقابل یک درب فشار می آورند. هر دو به صورت افقی و عمود بر درب فشار می یابند. یک کودک با نیروی 17. 5 نانومتر در فاصله 0. 600 متر از لولا فشار می آورد و فرزند دوم با فاصله 0. 450 متر فشار می آورد. کودک دوم برای جلوگیری از حرکت درب چه نیرویی باید داشته باشد؟فرض کنید اصطکاک ناچیز است.

4- برای محاسبه f از شرط دوم برای خالص تعادل τ = 0 استفاده کنید_pدر مثال 1 ، استفاده از هرگونه داده داده شده یا برای قسمت (الف) مثال.

5- مشکل Seesaw را در مثال 1 با مرکز جرم Seesaw 0. 160 متر در سمت چپ محوری (در سمت کودک سبک تر) تکرار کنید و با فرض جرم 12. 0 کیلوگرم برای Seesaw. داده های دیگر ارائه شده در مثال بدون تغییر باقی مانده است. صریحاً نشان می دهد که چگونه مراحل استراتژی حل مسئله را برای تعادل استاتیک دنبال می کنید.

واژه نامه

گشتاور: چرخاندن یا پیچاندن اثربخشی یک بازوی اهرم عمود: کوتاهترین فاصله از نقطه محوری به خطی که در آن FORT SI واحد گشتاور قرار دارد: Newton Times Meters ، که معمولاً به عنوان مرکز گرانش N · M نوشته شده است: نقطه ای که در آنفرض بر این است که وزن کل بدن متمرکز شده است

راه حل های انتخاب شده برای مشکلات و تمرینات

1. (الف) 46. 8 N · M (B) در چه ارتفاع فشار نمی آورد. گشتاور فقط به بزرگی نیروی اعمال شده و فاصله عمود بر کاربرد نیرو از لولا بستگی دارد.(کودکان زمان سخت تری را باز نمی کنند زیرا آنها پایین تر از بزرگسالان فشار می آورند ، زمان سخت تری دارند زیرا آنها به اندازه کافی از لولا فشار نمی آورند.)

الف) از آنجا که کودکان در حال تعادل هستند: