مشتق جهت دار

مشتق جهت دار ، نرخی است که در آن هر عملکرد در هر نقطه خاص در یک جهت ثابت تغییر می کند. این یک شکل بردار از هر مشتق است. این میزان فوری اصلاح عملکرد را مشخص می کند. این نمای یک مشتق جزئی را تعمیم می دهد. می توان آن را به عنوان:

در این مقاله ، مفهوم مشتق جهت دار را با جزئیات درک خواهیم کرد. ما باید تعریف ، فرمول ، شیب و خواص آن را بیاموزیم. ما پیش می رویم و در مورد مفهوم مشتق عادی نیز می آموزیم. ما همچنین چند نمونه حل شده از محاسبه مشتق جهت را مورد بحث قرار خواهیم داد.

تعریف مشتق جهت دار

برای یک تابع مقیاس f (x) = f (x₁,x₂,…,x_n) ، مشتق جهت به عنوان یک تابع به شکل زیر تعریف می شود.

جایی که V یک بردار باشد که در طی آن مشتق جهت F (x) تعریف شده است. بعضی اوقات ، V به یک بردار واحد محدود می شود ، اما در غیر این صورت ، تعریف نیز وجود دارد.

بردار V توسط ؛

همچنین ، بخوانید:

• مشتق
• محدودیت ها و مشتقات کلاس 11
• سوالات مهم کلاس 11 ریاضیات فصل 13 مشتقات محدود
• استفاده از مشتقات برای کلاس 12

خواص مشتق جهت دار

خصوصیات اساسی مربوط به مشتق جهت در زیر بحث شده است. فرض کنید هر دو کارکرد F و G در یک محله از یک نقطه "A" تعریف شده اند و در "A" متفاوت هستند.

بگذارید k ثابت باشد ، پس ؛

مبلغ توزیع کننده است.

این همچنین به عنوان قاعده لایب نیتس شناخته می شود.

این امر در شرایطی اعمال می شود که F در "A" متفاوت باشد و G در F (a) قابل تغییر است. در چنین موردی،

فرمول

مشتق جهت به عنوان n. ▽ f تعریف شده است. در اینجا ، n به عنوان یک بردار واحد در نظر گرفته می شود. مشتق جهت دار به عنوان میزان تغییر در طول مسیر بردار واحد که U = (A ، B) است تعریف می شود. مشتق جهت دار توسط du f (x ، y) مشخص شده است که می تواند به شرح زیر نوشته شود:

مثال

Q. 1: مشتق جهت دار عملکرد f (x ، y) = xyz را در جهت 3i - 4k پیدا کنید. این امتیاز را دارد (1 ، -1،1).

راه حل: عملکرد داده شده f (x ، y) = xyz است

میدان بردار 3I - 4K است. دارای بزرگی √ [(3 2)+( - 4 2) = √25 = √5

بردار واحد N در جهت 3i - 4k بنابراین n = 1/5 (3i - 4k) است

حال ، ما باید شیب ▽ f را برای یافتن مشتق جهت پیدا کنیم.

بنابراین ، ▽ f = yzi + xzj + xyk

اکنون ، مشتق جهت دار است ؛

n. ▽ f = 1/5 (3i−4k). (yzi+xzj+xyk)

= 1/5 [3 × yz + 0 - 4 × xy]

مشتق جهت دار در نقطه (1 ، -1،1) است.

شیب مشتق جهت

از آنجا که می دانیم شیب برای عملکرد F (x ، y) تعریف شده است.

▽ f = ▽ f (x ، y) = ∂f/∂xi + ∂f/∂yj

این را می توان با اختصاص عملگر بردار R به F (x ، y) که یک عملکرد مقیاس است محاسبه کرد. این قسمت بردار به عنوان یک میدان بردار شیب شناخته می شود.

اگر ما یک تابع F (x ، y ، z) و u (u1 ، u2 ، u3) داشته باشیم ، بردار واحد است.

واضح است که ، اگر یک محصول نقطه ای از شیب و بردار واحد داده شده را بگیریم ، مشتق جهت دار عملکرد را می گیریم.

مثال: شیب عملکرد f (x ، y) = x + y را پیدا کنید.

راه حل: عملکرد داده شده f (x ، y) = x + y است

▽ f = (1 + 0) i + (0 + 1) j

بنابراین ، شیب عملکرد f (x ، y) = x + y i + j است.< Pan> از آنجا که می دانیم شیب برای عملکرد F (x ، y) تعریف شده است.