شرایط لازم برای بهینه سازی مرتبه دوم در وظیفه مدیریت معادلات دیفرانسیل تصادفی با یک استدلال تأخیر

• نویسندگان: Mansimov K. B 1 ، 2 ، Mastaliev R. O 1
• موسسات:
  1. انستیتوی سیستم های مدیریت آذربایجان
  2. دانشگاه ایالتی باکو
• شماره: شماره 4 (2016)
• صفحات: 7-26
• بخش: مقالات
• URL: https://hed. pstu. ru/index. php/amcs/article/view/2235
• doi: https://doi.org/10. 15593/ اعمال ٪ 20 ٪ ٪ 20 و ٪ 20 حامل ٪ 20 کنترل ٪ 20/٪ 20Applied ٪ 20mathematimatimatimatimatimatimatimatimatrol ٪ 20Science. v04. 2235
• نقل قول

(روسی)

حاشیه نویسی

وظیفه مدیریت بهینه سیستم های تصادفی غیرخطی مورد بررسی قرار گرفته است که رفتار آن توسط یک معادله دیفرانسیل تصادفی با یک استدلال تأخیر تعیین شده است. معیار بهینه بودن عملکرد ترمینال انتظار ریاضی است. با کمک تغییرات اول و دوم (به معنای کلاسیک) ، عملکرد کیفیت شرط لازم را برای بهینه بودن سفارشات اول و دوم ایجاد کرده است. در یک مورد خاص ، از شرط لازم تعیین شده برای بهینه سازی مرتبه دوم ، یک آنالوگ تصادفی از شرایط Lyindra-Clebsh و همچنین تعدادی دیگر از شرایط بهینه سازی لازم ساختاری تأیید شده ، به دست آمد. مورد تخریب وضعیت Lyindra-Klebhas در نظر گرفته شد ، و شرایط بهینه لازم برای ویژه در حس کلاسیک بخش ها به دست آمد.

کلید واژه ها

متن کامل

Введение Известно, что стохастические дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом возникают во многих областях техники, биологии, экономики, физики (см., например, [1-5]). В связи с этим появляется необходимость исследования задач управления, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом. В теории оптимального стохастического управления при описании стохастической управляемой модели широко используются стохастические дифференциальные уравнения Ито [6, 7]. Ранее в работах [8-11] получены различные необходимые условия оптимальности для задач управления, описываемые стохастическими дифференциальными уравнениями Ито с запаздывающим аргументом. Подобные задачи исследованы для случая детерминированных обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздываниями в работах [12-16] и др. В настоящей статье при помощи стохастического аналога процедуры, описанной в работах К.Б. Мансимова (см., например, [13, 14]), получено необходимое условие оптимальности первого порядка (уравнение Эйлера) [17, 18]. Далее в силу неотрицательности второй вариации критерия качества вдоль оптимального процесса установлен ряд легко реализованных необходимых условий оптимальности второго порядка, в том числе аналог условия Лежандра-Клебша [18, 19]. Кроме этого, получены многоточечные необходимые условия оптимальности для особого в классическом смысле управления [18, 20]. 1. Постановка задачи Пусть - полное вероятностное пространство с определенным на нем неубывающим потоком s-алгебры где а - n-мерный стандартный винеровский процесс. - пространство измеримых по и согласованных процессов для которых - пространство функций с почти наверное (п.н.) непрерывными траекториями. Здесь и в дальнейшем E - математическое ожидание. Предположим, что закон управляемого движения на фиксированном отрезке времени описывается следующей системой стохастических дифференциальных уравнений с запаздыванием (1) с начальным условием (2) Здесь - фазовый вектор; - заданная n-мерная вектор-функция, непрерывная по совокупности переменных вместе с частными производными по до второго порядка включительно, где - матричная функция, непрерывная по совокупности переменных вместе с частными производными по до второго порядка включительно; - непрерывно дифференцируемая скалярная функция, причем - заданная непрерывная начальная вектор-функция; моменты и заданы; (3) где U - заданное непустое, ограниченное и открытое множество, а Ud - множество допустимых управлений. В дальнейших рассуждениях будем предполагать, что каждому допустимому управлению соответствует единственное решение системы (1)-(2). Целью управления является минимизация критерия качества (4) где - заданная дважды непрерывно дифференцируемая скалярная функция. Допустимое управление доставляющее минимум функционалу (4) при ограничениях (1)-(3), назовем оптимальным управлением, а соответствующий процесс - оптимальным процессом. Основной целью данной работы является вывод конструктивно проверяемых условий оптимальности второго порядка в рассматриваемой задаче. 2. Первая и вторая вариации критерия качества Пусть - фиксированный, а - произвольный допустимый процесс. Тогда ясно, что приращение траектории будет удовлетворять системе (5) (6) На основании формулы Тейлора приращение критерия качества (4) на этих управлениях будет в следующей форме: (7) Пусть - случайный процесс, стохастический дифференциал которого имеет вид Здесь - n-мерная измеримая и ограниченная функция, Тогда с помощью формулы Ито [6, 7] получим (8) С целью упрощения записи формул введем стохастический гамильтониан и ряд обозначений: Учитывая введенные обозначения, формулу (8) перепишем в виде (9) С учетом (6), (9) выражение (7) принимает следующий вид: Далее, используя формулу Тейлора, получим (10) где по определению (11) Здесь по определению величины и находятся соответственно из разложений Предположим, что случайные процессы являются решением следующей системы стохастических дифференциальных уравнений: (12) где - функция, обратная к Уравнение (12) назовем стохастической сопряженной системой к рассматриваемой задаче. Отсюда, принимая во внимание систему (12), приращение функционала качества (10), соответствующее управлениям и с помощью простых преобразований может быть представлено в виде (13) В силу открытости области управления U специальное приращение допустимого управления можно определить по формуле (14) где e - достаточное малое по абсолютной величине число; - произвольная вектор-функция (вариация управления). Обозначим через специальное приращение траектории отвечающее приращению (14) допустимого управления Из выражения (5), используя формулу Тейлора, по схеме, приведенной, например, в работах [15, 18], получаем справедливость утверждения. Лемма 1. Для специального приращения траектории системы (1)-(2) имеет место следующее разложение: (15) где (вариация траектории) является решением задачи (16) Стохастические дифференциальные уравнения (16) назовем аналогом уравнения в вариациях [17] для рассматриваемой задачи. В дальнейшем нам понадобится еще одна лемма. Лемма 2. Решение уравнения (16) можно представить в виде (17) где по определению Здесь фундаментальная матрица является решением однородного уравнения: (18) где I - единичная матрица, Замечание. Формула (17) представляет собой стохастический аналог известной формулы Коши из работы [21] для уравнения (16). Отметим, что представление (17) в случае приведено в работе [22]. Подставляя в уравнение (16) выражение (17) для и учитывая уравнение (18), после несложных преобразований можно убедиться в справедливости леммы 2. Учитывая выражения (11), (14) и (15) в формуле приращения (13), следуя обычной схеме [18, 19], можно доказать, что первая и вторая (в классическом смысле) вариации функционала качества соответственно имеют вид (19) (20) 3. Необходимые условия оптимальности Пусть - оптимальный процесс. Тогда для всех согласно результатам вариационного исчисления (см., например, [17-19]), первая вариация функционала (4) равняется нулю, а вторая - неотрицательна, т.е. Таким образом, вдоль оптимального процесса для всех (21) (22) Из выражения (22) по схеме, приведенной, например, в работах [18, 19], получаем, что вдоль оптимального процесса соотношение (23) выполняется при почти всех Здесь и в дальнейшем - произвольная точка Лебега (правильная точка [23]) управления Сформулируем полученный результат в виде следующей теоремы. Теорема 1. Для оптимальности допустимого управления в задаче (1)-(4) необходимо, чтобы почти для всех выполнялось равенство (23). Условие оптимальности (23) является стохастическим аналогом уравнения Эйлера для рассматриваемой задачи и представляет собой необходимое условие оптимальности первого порядка. Допустимое управление удовлетворяющее уравнению Эйлера (23), следуя, например, работе [18], назовем классической экстремалью в задаче (1)-(4). Следовательно, справедлива следующая теорема. Теорема 2. Для оптимальности классической экстремали в задаче (1)-(4) необходимо, чтобы неравенство (22) выполнялось для всех Как видно, неравенство (22) есть неявное необходимое условие оптимальности второго порядка, но, используя неравенство (22), можно получить конструктивно проверяемые необходимые условия оптимальности второго порядка. Представление (17) позволяет доказать по схеме, приведенной в работе [13], следующие тождества: (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) Полагая, что (31) и учитывая тождества (24)-(31) в (22), получаем неравенство вида (32) Теорема 3 (необходимое условие оптимальности второго порядка). Для оптимальности классической экстремали в задаче (1)-(4) необходимо, чтобы неравенство (32) выполнялось для всех Отметим, что детерминированный аналог матричной функции впервые введен в работах К.Б. Мансимова (см., например, [13, 14]). Ясно, что условие оптимальности (32) является общим интегральным необходимым условием оптимальности для классической экстремали. Однако, используя различные специальные вариации управления, из него можно получить ряд более легкопроверяемых необходимых условий оптимальности, в частности стохастический аналог условия Лежандра-Клебша для рассматриваемой задачи. Теорема 4 (стохастический аналог условия Лежандра-Клебша). Для оптимальности классической экстремали в задаче (1)-(4) необходимо, чтобы неравенство (33) выполнялось для почти всех и Для доказательства неравенства (33) достаточно в формуле (32) определить по формуле (34) где а - достаточно малое число. Теорема 5. Для оптимальности классической экстремали в задаче (1)-(4) необходимо, чтобы выполнялось неравенство для всех Отметим, что также не исключена возможность вырождения аналога условия Лежандра-Клебша, т.е. его выполнение тривиальным образом. Определение [18]. Если вдоль классической экстремали выполняются при почти всех то назовем особым в классическом смысле управлением. Необходимое условие оптимальности (32) позволяет получить также необходимые условия оптимальности особых в классическом смысле управлений. Из теоремы 5 следует следующая теорема. Теорема 6. Для оптимальности особого в классическом смысле управления в задаче (1)-(4) необходимо, чтобы неравенство (35) выполнялось для всех Неравенство (35) является интегральным необходимым условием оптимальности для особых в классическом смысле управлений. Перейдем к получению поточечных необходимых условий оптимальности для особых в классическом смысле управлений. С этой целью специальную вариацию управления определим по формуле (36) Здесь m - произвольное натуральное число; e>0 - تعداد نسبتاً کمی ، - نقطه کنترل کنترل و با فرمول (37) جمع بندی تغییرات ویژه (37) به معنای معمول درک می شود [24 ، 25]. با در نظر گرفتن فرمول (37) در بیان (35) ، ما به قضیه 7. قضیه 7. برای بهینه سازی ویژه در حس کلاسیک مدیریت در مسئله (1)-(4) لازم است که برای هر طبیعی لازم باشد شماره M نابرابری (38) تقریباً برای همه نابرابری ها انجام می شود (38) ، می توانید تعدادی از شرایط لازم را برای بهینه تر برای بهینه سازی ویژه در حس کلاسیک دولت ها بدست آورید. به عنوان مثال ، با اعتقاد به اینكه در فرمول (38) M = 1 ، ما به تحقیق می رسیم. نتیجه. برای بهینه بودن ویژه در حس کلاسیک مدیریت در مسئله (1)-(4) ، لازم است که نابرابری تقریباً برای همه انجام شود و نتیجه گیری با استفاده از آنالوگ تصادفی روش افزایش ، تغییرات اول و دوم را محاسبه می کند. عملکرد کیفیت در کار مدیریت بهینه تصادفی سیستم با تأخیر متناوب. با کمک آنها ، شرایط لازم برای بهینه سازی سفارشات اول و دوم تدوین و اثبات شده است ، از جمله شرایط بهینه لازم چند نقطه ای برای مدیریت ویژه به معنای کلاسیک. نتایج جدید است و نظری است. آنها می توانند به طور مؤثر در کارهای خاص کنترل تصادفی ، که توسط سیستم معادلات دیفرانسیل تصادفی با یک آرگومان تأخیر شرح داده شده است ، استفاده شود.

درباره نویسندگان

K. B Mansimov

انستیتوی سیستم های مدیریت NAS آذربایجان ؛دانشگاه ایالتی باکو

R. درباره Mastaliev

انستیتوی سیستم های مدیریت آذربایجان